Question

抛物线y=ax²+2x+3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）连接BD并以BD为直径作⊙M，当a=-1时，请判断⊙M是否经过点C，并说明理由；
（3）在（2）题的条件下，点P是抛物线上任意一点，过P作直线垂直于对称轴，垂足为Q．那么是否存在这样的点P，使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+2x+3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D，根据二次函数的对称轴方程与顶点坐标的求解方法即可求得对称轴及D点的坐标，又由当x=0时，y=3，求得C点的坐标；
（2）首先求得点B，C，D的坐标，然后根据两点间的距离公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD²+BC²=DB²，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直径所对的圆周角是直角，可得⊙M是经过点C；
（3）首先求得CD，BC，的长，然后分别从①若点P在对称轴的左侧，且△PQD∽△DCB，②若点P在对称轴的左侧，且△PQD∽△BCD，③若点P在对称轴的右侧，且△PQD∽△DCB，④若点P在对称轴的右侧，且△PQD∽△BCD去分析，根据相似三角形的对应边成比例，求得方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
∴对称轴为：x=-

2

2a

=-

1

a

，
∵当x=0时，y=3，
∴C的坐标为：（0，3），
∵D点的纵坐标为：y=

12a-4

4a

=

3a-1

a

，
D点的坐标为：（-

1

a

，

3a-1

a

）；…（3分）

（2）⊙M经过点C，
理由：连接BC，
∵a=-1，
∴抛物线为：y=-x²+2x+3，
∴点D（1，4），点B（3，0），点C（0，3），
∴CD²=2，BD²=20，BC²=18，
∴CD²+BC²=DB²，
∴∠DCB=90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD是直径所对的圆周角，
∴⊙M是经过点C；（3分）

（3）设P（x，-x²+2x+3）
∵CD²=2，BC²=18，
∴CD=

2

，BC=3

2

，
①如图：若点P在对称轴的左侧，且△PQD∽△DCB，
则

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

1-x

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）；
∴当x=-2时，y=-5；
∴P₁的坐标为（-2，-5）；
②若点P在对称轴的左侧，且△PQD∽△BCD，
则

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

1-x

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₃=

2

3

，x₄=1（舍去）；
∴当x=

2

3

时，y=

35

9

；
∴P₂的坐标为（

2

3

，

35

9

）；
③若点P在对称轴的右侧，且△PQD∽△DCB，
则

PQ

CD

=

DQ

BC

，
即

x-1

2

=

4-(-x2+2x+3)

3 2

，
解得：x₅=4，x₆=1（舍去）；
∴当x=4时，y=-5；
∴P₃的坐标为（4，-5）；
④若点P在对称轴的右侧，且△PQD∽△BCD，
则

PQ

BC

=

DQ

CD

，
即

x-1

3 2

=

4-(-x2+2x+3)

2

，
解得：x₇=

4

3

，x₈=1（舍去）；
∴当x=

4

3

时，y=

35

9

；
∴P₄的坐标为（

4

3

，

35

9

）；
综上可得，点P的坐标为：P₁（-2，-5）或P₂（

2

3

，

35

9

）或P₃（4，-5）或P₄（

4

3

，

35

9

）．…（4分）

点评：此题考查了对称轴方程，顶点坐标的求解方法，圆的性质，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．