Question

△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE。

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时。
 ①求证：△AEB≌△ADC；
 ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由。

Answer 1

证明：
（1）①
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°。
又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC。
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°，
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC。
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形。
方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC。
由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG。
∴四边形BCGE是平行四边形。
（2）①②都成立。
（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形。
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
又∵CD=CB，
∴BE=CB。由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形。
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD。
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB
∴CD=CB。
方法三：
∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°，
∴△BEF是等边三角形．
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°。