Question

【题目】如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O 且OB＝OC．则下列结论：

①△BEC≌△CDB；

②△ABC是等腰三角形；

③AE＝AD；

④点O在∠BAC的平分线上，

其中正确的有_____．（填序号）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB，可得AB＝AC；由AAS可证△BEC≌△CDB；可得BE＝CD，可得AD＝AE；通过证明△AOB≌△AOC，可证点O在∠BAC的平分线上．即可求解．

解：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形，故②符合题意；

∵∠OBC＝∠OCB，∠BDC＝∠BEC＝90°，且BC＝BC，

∴△BEC≌△CDB（AAS），故①符合题意，

∴BE＝CD，且AB＝AC，

∴AD＝AE，故③符合题意；

连接AO并延长交BC于F，

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF＝∠CAF，

∴点O在∠BAC的角平分线上，故④符合题意，

故正确的答案为：①②③④．