已知二次函数y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=12x与y=-x+m的交点.(1)用含m的代数式来表示点M的坐标,(2)若二次函数y=x2+px+q图象经过A(0.3).求二次函数y=x2+px+q的解析式,中的二次函数y=x2+px+q的图象与x轴有两个交点.设与x轴的左交点为B.点P为抛物线对称轴上一点.若△PAB为直角三角形.请求出所有满足条件的点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知二次函数y=x²+px+q图象的顶点M为直线y=

x与y=-x+m的交点，
（1）用含m的代数式来表示点M的坐标；
（2）若二次函数y=x²+px+q图象经过A（0，3），求二次函数y=x²+px+q的解析式；
（3）在（2）中的二次函数y=x²+px+q的图象与x轴有两个交点，设与x轴的左交点为B，点P为抛物线对称轴上一点，若△PAB为直角三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．

分析：（1）已知直线y=

x和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量关系式即可求出点M的坐标．
（2）将A点坐标代入y=(x-

m)2+

m，求出m的值即可得出解析式；
（3）利用①当∠BAP=90°时，②当∠ABP=90°时，③当∠APB=90°时，分别解出P点坐标即可．

解答：解：（1）由

y=-x+m

，
得

，
即交点M坐标为（

m，

m）；

（2）∵此时二次函数为y=(x-

m)2+

m过点A（0，3），
∴3=(0-

m)2+

m，
得m₁=-3，m2=

，
∴y=（x+2）²-1或者y=(x-

)2+

；

（3）∵二次函数y=(x-

)2+

与x轴没有交点，

又∵二次函数y=x²+px+q的图象与x轴有两个交点时，
∴二次函数为y=x²+4x+3，与x轴的左交点B为（-3，0），对称轴为直线x=-2
①当∠BAP=90°时，如图1，作P₁D⊥y轴于点D，
设P点坐标为（-2，y），则P1A2+AB²=BP₁²，可得P1D2+AD²+AB²=P1E2+BE²．
即2²+（y-3）²+（3

）²=y²+1²．
解得：y=5，
可得P₁坐标为（-2，5），
②当∠ABP=90°时，如图2，则BP₂²+AB²=AP₂²，设P点坐标为（-2，a），
即a²+1+（3

）²=（3-a）²+（-2）²
解得：a=-1，
可得P₂坐标为（-2，-1），

③当∠APB=90°时，同理可得P1A2+BP₁²=AB²，设P点坐标为（-2，b），
则（3

）²=（b-3）²+4+1+b²，
解得：b=

，
可得P在以AB为直径的圆与直线x=-2的交点上，有两个：
P₃（-2，

），P₄（-2，

），
综上得，当P为（-2，5），（-2，-1），（-2，

）或（-2，

）时，△PAB为直角三角形．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及直角三角形的性质等知识，利用分类讨论得出P点坐标是解题关键．

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