Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象Q与x轴有且只有一个交点P，与y轴的交点为B（0，4），且ac=b，
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）将一次函数y=-3x的图象作适当平移，使它经过点P，记所得的图象为L，图象L与Q的另一个交点为C，请在y轴上找一点D，使得△CDP的周长最短．

Answer 1

分析：（1）由B的坐标可求出c的值，根据图象Q与x轴有且只有一个交点P和ac=b能求出P的坐标，即可得到解析式；
（2）设图象L的函数解析式为y=-3x+b，把P的坐标代入即可求出即平移后所得一次函数的解析式，令-3x-6=x²+4x+4，即可求出两交点C、P坐标，再求出P关于关于y轴的对称点P′的坐标（2，0），设直线CP′的解析式是y=dx+e，把C、P′的坐标代入即可求出解析式，再求出直线CP′与Y轴交点即可．

解答：解：（1）由B（0，4）得，c=4，
Q与x轴的交点P（-

b

2a

，0），
由条件ac=b，得

b

a

=c，
∴-

b

2a

=-

c

2

=-2，
即P（-2，0），
∴

b=4a 4a-2b+4=0.

，
解得

a=1 b=4.

所求二次函数的解析式为y=x²+4x+4，
答：这个二次函数的解析式是y=x²+4x+4．

（2）设图象L的函数解析式为y=-3x+b，因图象L过点P（-2，0），
代入得：b=-6
即平移后所得一次函数的解析式为y=-3x-6，
令-3x-6=x²+4x+4，
解得x₁=-2，x₂=-5，
将它们分别代入y=-3x-6，
得y₁=0，y₂=9．
∴图象L与Q的另一个交点为C（-5，9），
∵点P（-2，0）关于y轴的对称点为点P′（2，0），
设直线CP′的解析式是y=dx+e，
把C（-5，9），P′（2，0），代入得：

9=-5d+e 0=2d+e

，
解得：

d=- 9 7 e= 18 7

，
则直线CP′的解析式为y=-

9

7

x+

18

7

，
且与y轴的交点为D(0，

18

7

)
即在y轴上使得C_△CDP最小的点是D(0，

18

7

)，
答：y轴上D（0，

18

7

），能使得△CDP的周长最短．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元二次方程，关于Y轴对称的点的坐标等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．