Question

【题目】问题提出：

(1)如图①，若正方形的边长为6，点分别为边上的点，且，与交于点，连接，则 ；

问题探究：

(2)如图②，，是等腰直角三角形，顶点分别在的两边上，试说明点在的平分线上；

问题解决：

(3)如图③，，是等边三角形，顶点分别在的两边上，点在上，且，连接，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）3.

【解析】

（1）先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形GHEF是正方形．过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，根据AAS易得△EOM≌△FON，得出OC=OD，根据角平分线的判定定理可得OB平分∠ABC，根据BO=BD可得出结果..

（2）过点O分别作OC⊥AP于点C，OD⊥PN于点D，证明△EOC≌△BOD，得出OC=OD，根据角平分线的判定定理可得出结果.

（3）过点O分别作OC⊥AP于点C，OD⊥PN于点D，同（2）中证法可得点O在∠MPN的平分线上，连接PO，过点Q作QO′⊥PO于点O′,则QO′即为QO的最小值，在Rt△PQO′中求出QO′的值即可.

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

∴EO=FO,∠EOF=90°.

过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，

根据AAS易得△EOM≌△FON，

∴MO=NO，

∴BO平分∠ABC，

∴BO=BD=BC=3.

图①

（2）过点O分别作OC⊥AP于点C，OD⊥PN于点D，

∵∠APB=90°，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD,

又AO=BO,∠ACO=∠ODB，

∴△AOC≌△BOD（AAS），

∴CO=DO,

又OC⊥PM，OD⊥PN，

∴点在的平分线上.

(3) 过点O分别作OC⊥PM于点C，OD⊥PN于点D，同（2）中证法可得点O在∠MPN的平分线上，连接PO，过点Q作QO′⊥PO于点O′,则QO′即为QO的最小值.

∵OP为∠MPN的平分线，

∴∠OPN=60°，

又PQ=6，∴PO′=3，

∴QO′=3.

即QO的最小值为3.