Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，已知点的横坐标为－5，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点.

（1）求直线的解析式；

（2）将直线向上平移6个单位得到直线，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标及的最小值；

（3）已知点、分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点、，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P(﹣3，)．

【解析】

（1）点A在y=-x-8上，点A的横坐标为﹣5，得到A的坐标，将点A代入yx+b，即可求解；

（2）点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A'(﹣5，3)，连接AD'交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为A'D，即可求解；

（3）证明△PNQ≌△EKP(AAS)，则PN=KE，QN=PK，即可求解．

（1）∵点A在y=-x-8上，点A的横坐标为﹣5，

∴A(﹣5，﹣3)．

将点A代入yx+b，

∴b=4，

∴直线l1的解析式yx+4；

（2）l2：y=﹣x﹣8与y轴的交点D(0，﹣8)．

∵将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，

∴E(0，﹣2)．

∵过点E作y轴的垂线l4，

点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A'(﹣5，3)，

连接AD'交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为：A'D，

CM+MN+NA=MD+MN+A'N=A'D，

A'D；∴CM+MN+NA的值最小为；

（3）存在，理由：

设点P、Q的坐标分别为：(m，m+4)、(n，﹣n﹣8)，

过点Q作x轴的平行线交y轴于点M，过点P作PN⊥QM于点N，PN交l4于点K，

易证△PNQ≌△EKP(AAS)，

∴PN=KE，QN=PK，

即：m+4+n+8=﹣m，m﹣nm+4+2，

解得：m=﹣3，n=．

当m=﹣3时，m+4=．

故点P(﹣3，)．