Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=

m

x

（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=

m

x

（x＞0）和y=-

m

x

（x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；
（2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可；
（3）先假设存在，利用S_△AMN=4S_△AMP．求得p的值，看是否符合要求．

解答：（1）解：∵B（2，1）在双曲线y=

m

x

（x＞0）上，
∴m=2，
设直线l的解析式为y=kx+b，
则

k+b=0 2k+b=1

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直线l的解析式为y=x-1；

（2）证明：∵点P（p，p-1）（p＞1），点P在直线y=2上，
∴p-1=2，
解得p=3，
∴P（3，2），
∴PM=2，PN=4，PA=2

2

，PB=

2

，
∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，
∴△PMB∽△PNA；

（3）解：存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP．
∵P（p，p-1）（p＞1），
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
将y=p-1代入y=

2

x

和y=-

2

x

，
得x=

2

p-1

和x=-

2

p-1

，
∴M、N的坐标分别为（

2

p-1

，p-1），（-

2

p-1

，p-1），
①当1＜p＜2时，
MN=

4

p-1

，PM=

2

p-1

-p，
∵S_△AMN=

1

2

MN×（p-1）=2，S_△AMP=

1

2

MP×（p-1）=-

1

2

p²+

1

2

p+1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（-

1

2

p²+

1

2

p+1），
整理，得p²-p-1=0，
解得：p=

1± 5

2

，
∵1＜p＜2，
∴p=

1+ 5

2

，
②当p＞2时，
MN=

4

p-1

，PM=p-

2

P-1

，
∵S_△AMN=

1

2

MN×（p-1）=2，S_△AMP=

1

2

MP×（p-1）=

1

2

p²-

1

2

p-1，
S_△AMN=4S_△AMP，
∴2=4×（

1

2

p²-

1

2

p-1），
整理，得p²-p-3=0，解得p=

1± 13

2

，
∵p大于2，
∴p=

1+ 13

2

，
∴存在实数p=

1+ 13

2

或

1+  5

2

使得S_△AMN=4S_△AMP．

点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质．