Question

我们知道两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂，当k₁=k₂时，这两个一次函数的图象相互平行，那么两个一次函数的图象什么情况下相互垂直呢？下面我们就来探索．
（1）画一画
在同一平面直角坐标系下画出一次函数y=2x+1，y=-2x+3，y=x-1，y=-x+2的图象；
（2）想一想
仔细观察图象，结合四个一次函数的解析式提出猜想：当______时，两个一次函数y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
（3）用一用
利用（2）中的结论解决下面问题如图：已知正比例函数y=x的图象和⊙P相切于点A，点P在x轴上，OP=3厘米，求⊙P的面积．

Answer 1

解：（1）①x=0时，y=1，y=0时，2x+1=0，解得x=-，
所以，直线y=2x+1经过点（0，1）（-，0），
②当x=0时，y=3，当y=0时，-2x+3=0，解得x=，
所以，直线y=-2x+3经过点（0，3）（，0），
③当x=0时，y=-1，当y=0时，x-1=0，解得x=2，
所以，直线y=x-1经过点（0，-1）（2，0），
④当x=0时，y=2，当y=0时，-x+2=0，解得x=4，
所以，直线y=-x+2经过点（0，2）（4，0），
作图如图所示；

（2）由图可知，y=2x+1与y=-x+2垂直，y=-2x+3与y=x-1垂直，
∵2×（-）=-1，-2×=-1，
∴猜想当k₁•k₂=-1时，y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的图象相互垂直；
故答案为：k₁•k₂=-1；

（3）根据（2）的结论，
∵正比例函数y=x的图象和⊙P相切于点A，
∴直线AP的k值等于-2，
所以，设直线AP的解析式为y=-2x+b，
∵OP=3，
∴点P的坐标为（3，0），
∴-2×3+b=0，
解得b=6，
∴直线AP的解析式为y=-2x+6，
联立，
解得，
所以，OA==，
AP===，
⊙P的面积=π•AP²=π•（）²=π．
分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，然后根据两点确定一条直线，利用两点法作出直线图象即可；
（2）结合图象根据互相垂直的两直线解析式的k值解答；
（3）根据（2）的结论求出直线AP的k值，然后求出直线AP的解析式，与OA的解析式联立求解得到点A的坐标，再利用勾股定理求出OA的长度，再次利用勾股定理求出PA的长度，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及利用两点法作一次函数图象，联立两直线解析式求直线的交点，勾股定理的应用，是综合题，但难度不大，读懂题目信息，准确作出图形是解题的关键．