Question

如图，P为等腰Rt△ABC外一点，∠BAC=90°，连PB、PC、PA，PA交BC于E点，且∠APC=45°，下列结论：
①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA．
其中正确的是

1. A.
   ①
2. B.
   ①②
3. C.
   ②
4. D.
   ①②③

Answer 1

D
分析：求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠APB的度数；求出△BAE∽△PAB，推出=，证△CAE∽△PAC，推出=，推出=，根据三角形的面积公式即可求出②正确；过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，证△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=AP，即可推出③正确．
解答：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠ABC=∠APC，
即A、B、P、C四点共圆，
∴∠APB=∠ACB=45°，
∴①正确；
∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB，
∴△BAE∽△PAB，
∴=，
同理可证△CAE∽△PAC，
∴=，
∵AB=AC，
∴=，
即=，
∵△ABE的边BE上的高和△ACE的边CE上的高相同，设高为h，
∴===，
∴②正确；
过A作AD⊥PA，AD交PB的延长线于D，
∵∠BAC=90°，AD⊥PA，
∴∠DAP=90°=∠BAC，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠4=∠ACP，
在△ADB和△APC中
，
∴△ADB≌△APC（ASA），
∴PC=BD，AD=AP，
∴△DAP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DP==AP，
∵DP=BP+BD=BP+PC，
即PB+PC=PA，
∴③正确；
故选D．
点评：本题考查了圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰直角三角形等知识点的综合运用，题目综合性比较强，难度偏大．