Question

难（12分）如图，在等腰梯形ABCE中， BC∥AE且 ＝，以点E为坐标原点建立平面直角坐标系，若将梯形ABCD沿AC折叠， 使点B恰好落在x轴上点D位置，过C、D两点的直线与y轴交于点E．

(1)试判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明你的理由；

(2)如果∠＝60°，＝，那么在轴上是否存在一点，使以、、

为顶点的三角形构成等腰三角形，若存在，请求出所有可能的点坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若将沿轴正方向以1/的速度平移到点与点重合时为止，设在平移过程中与重合部分的面积为，平移的时间为秒，试求出与之间的函数关系式及自变量范围，并求出何时有最大值，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）四边形ABCD为菱形-------  1′

         理由如下：因为点B和点D关于z直线AC对称，所以AB=AD；BC=DC.

                   由AB=BC得：AB=BC=DA=AB，

              所以四边形ABCD为菱形. -------  2′（其他方法参照给分）

    

 ⑵∵四边形ABCD为菱形  ∴∥ ∴ ∴为等边三角形  ∴ 在中，

①     以为腰，点坐标为  、、

②以为底，点坐标为

②     综上所述，点坐标为  、、、………………………………6分

 

⑶①当≤≤时，＝  ∴当＝时，有最大值＝

………………………………8分

②当≤≤2时

，

      ∴当1s时，有最大值＝………………………………10分

③     当≤≤4时，

∴当2时，有最大值＝

综上所述，当＝时，有最大值＝………………………………12分