Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系

（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；

（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．

（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．

 

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=，

∴AC=4．

∴AB=．

设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，

∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．

∴在Rt△AOH 中， OH²+AH²=OA²，即m²+2²=(4－m)²，得 m=．

∴OC=，OA=AC－OC=，

∴O（0，0） A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分

设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．

把x=，y=3代入解析式，得a=．

∴y=x（x－）=．

 即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：

                －

                

解之得 k= －，b=．

∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分

设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分

∴d=（）—（）=—=

    ∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分

(3)设抛物线y=的顶点为D．

∵y==，

∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．

根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．

①       当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分

②       当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点

E（，）或E（－，）．

所以在抛物线上存在三个点：E₁（，－），E₂（，），E₃（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分