Question

在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心，半径为5的圆与x轴相交于点B，C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D，M（点D在点M的下方）．
（1）求以直线x=-3为对称轴，且经过点C，D的抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；
（3）若E为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆的对称性，圆心的坐标和圆的半径可得出B点的坐标为（-8，0），C点的坐标为（2，0），M点的坐标为（0，4），D点的坐标为（0，-4）．已知抛物线过C，D两点，且对称轴为x=-3，可用顶点式二次函数通式来设出抛物线的解析式，然后将C、D两点的坐标代入抛物线中即可得出过C、D两点的二次函数的解析式．
（2）由于P是动点，因此PC+PD的最大值可以视作为无穷大；那么求PC+PD最小值时，关键是找出P点的位置，由于B、C关于抛物线的对称轴对称，因此连接BC，直线BC与抛物线对称轴的交点就是PC+PD最小时P点的位置．那么此时PC+PD=BD，可在直角三角形BOD中用勾股定理求出BD的长，即可得出PC+PD的取值范围．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当平行四边形以BC为边时，可在x轴上方找出两个符合条件的点，由于EF平行且相等于BC，那么可根据BC的长和抛物线的对称轴得出此时F点的横坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
②平行四边形以BC为对角线，可在x轴下方找出一个符合条件的点且此时F点正好是抛物线的顶点．

解答：解：（1）设以直线x=-3为对称轴的抛物线的解析式为y=a（x+3）²+k，
由已知得点C、D的坐标分别为C（2，0）、D（0，-4），分别代入解析式中，
得

25a+k=0 9a+k=-4

，
解得

a= 1 4 k=- 25 4

，
∴y=

1

4

（x+3）²-

25

4

为所求；

（2）（图1）∴点C（2，0）关于直线x=-3的对称点为B（-8，0），
∴使PC+PD值最小的P点是BD与直线x=-3的交点．
∴PC+PD的最小值即线段BD的长．
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=4

5

，
∴PC+PD的最小值是4

5

∵点P是对称轴上的动点，
∴PC+PD无最大值．
∴PC+PD的取值范围是PC+PD≥4

5

．

（3）存在．
①（图2）当BC为所求平行四边形的一边时．
点F在抛物线上，且使四边形BCFE或四边形BCEF为平行四边形，则有BC∥EF且BC=EF，
设点E（-3，t），过点E作直线EF∥BC与抛物线交于点F（m，t）．
由BC=EF，得EF=1O．
∴F₁（7，t），F₂（-13，t）．
又当m=7时，t=

75

4

∴F₁（7，

75

4

），F₂（-13，

75

4

）；

②（图3）当BC为所求平行四边形的对角线时．
由平行四边形的性质可知，点F即为抛物线的顶点（-3，-

25

4

）
∴存在三个符合条件得F点，分别为F₁（7，

75

4

），F₂（-13，

75

4

），F₃（-3，-

25

4

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．