Question

【题目】如图，已知为的直径，、是的弦，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径.

（3）在（2）中的条件下，，将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积（结果用表示）.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为4；（3）BD扫过的图形的面积为

【解析】

（1）如图1（见解析），连接DO，先根据平行线的性质和等腰三角形的性质推出，再由定理判定，从而可得，最后根据圆的切线的判定定理即可证；

（2）根据题（1）的结论，在中，利用勾股定理即可得；

（3）如图2（见解析），先确定阴影部分为BD所扫过的图形，再利用扇形和三角形的面积公式求解即可.

（1）如图1，连结

∵

∴

又∵

∴

∴

在和中，

∴

∵是圆的切线

∴

∴

又∵点在圆上，OD为圆O的半径

∴是圆的切线；

（2）如图1，设圆的半径为r

则

由题（1）的结论，是直角三角形

则，即，解得

故圆的半径为4；

（3）如图2，由旋转的过程得：阴影部分为BD所扫过的图形

由题（2）可知

由旋转的性质得，和的面积相等

则所扫过的图形面积为：

空白区域的面积为：

因此，

故扫过的图形的面积为.