Question

某市要在一块矩形的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是矩形面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在矩形的四条边上，请你设计两种方案：
方案1：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案2：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合条件的平行四边形花园，并简要说明画法．

Answer 1

分析：（1）在AD上截取AG=BE，连接EG，则EG把矩形ABCD分成两个矩形，在AB上任取一点H，顺次连接E、F、G、H四点即可得到符合要求的四边形；
（2）在AD上截取DP=BM，连接MP，再作出MP的中点O，过O通过作角相等作ON∥BC交CD于点N，交AB于点Q，则顺次连接M、N、P、Q即可得到符合要求的平行四边形．

解答：解：（1）如图，作法：①在AD，BC上截取AG=BE，连接EG，
②在AB上任取一点H，
③连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，
所以四边形EFGH就是所要求作的四边形．
理由：因为ABCD是矩形，EG把矩形ABCD分成矩形ABEG与矩形ECDG，
则S_△EFG=

1

2

S_矩形ECDG，S_△EGH=

1

2

S_矩形ABEG，
∴S_{四边形EFGH}=

1

2

S_{四边形ABCD}；

（2）画法：①在AD，BC上截取AP=CM，连接MP，
②作MP的垂直平分线，得到MP的中点O，
③作∠PON=∠PMC交CD于点N，反向延长ON，交AB于点Q，连接MN、MP、PQ、QM，得到四边形MNPQ，
所以四边形MNPQ就是所要求作的平行四边形．
理由如下：∵∠PON=∠PMC，
∴QN∥BC，
∵点O是MP的中点，
∴点Q、点N分别是AB、CD的中点，
∴OQ=

1

2

（BM+AP）=

1

2

AD，NO=

1

2

（MC+DP）=

1

2

BC，
∴OQ=NO，
∴四边形MNPQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
因为ABCD是矩形，QN把矩形ABCD分成矩形AQND与矩形BCNQ，
则S_△PQM=

1

2

S_矩形AQND，S_△EQMN=

1

2

S_矩形BCNQ，
∴S_{四边形MNPQ}=

1

2

S_{四边形ABCD}．

点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用矩形的面积等于以矩形的一边为底边，另一顶点在对边上的三角形的面积等于矩形的面积的一半的性质，灵活性较强，难度不大．