Question

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，设点P的横坐标为x，试用含x的代数式表示△APE的面积S；
（3）在（2）的条件下，点G为第一象限内的该抛物线上的一个动点，对于S的一个确定的值，始终存在点G，满足△AGC的面积与（2）中△APE的面积相等，求符合题意的点G的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据C（6，0），B（-3，0），运用交点式求出二次函数解析式；
（2）利用相似三角形的性质得出S_△PCE=

(x-6) 2

3

，进而求出△APE的面积S；
（3）表示出S_△AGC=

1

2

GH•CO=-x²+6x，进而求出x的取值范围．

解答：（1）由题意得，A（0，6），C（6，0），B（-3，0），
解：设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-6），
解得：a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

（x+3）（x-6），
=-

1

3

x²+x+6，

（2）如图，∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴

S△PCE

S△BCA

= 

PC2

BC2

，

S△PCE

27

=

(6-x)2

81

，
∴S_△PCE=

(x-6) 2

3

，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-

1

3

x²+x+6，
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

27

4

，
（当x=

3

2

时，S有最大值为

27

4

）；
故S的取值范围是：0＜S≤

27

4

，（-3＜x＜6）；
（3）设G（x，-

1

3

x²+x+6）
过G作GH∥y轴交直线AC于点H，
易得直线AC：y=-x+6，
∴H（x，-x+6）
∴GH=-

1

3

x²+x+6-（-x+6）=-

1

3

x²+2x，
∴S_△AGC=

1

2

GH•CO=-x²+6x=-（x-3）²+9，
故S△AGC的取值范围是：0＜S_△AGC≤9，（0＜x＜6）；
当S_△AGC=

27

4

时，-x²+6x=

27

4

，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

9

2

，
∴点G的横坐标x的取值范围是0＜x≤

3

2

或

9

2

≤x＜6时．

点评：此题主要考查了二次函数的综合题目，利用交点式求二次函数解析式以及相似三角形的性质是考查的重点内容，同学们应学会应用．