Question

已知抛物线。

（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D，
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。

Answer 1

解：（1）∵当y=0时，得关于x的一元二次方程，
该方程根的判别式△=m²-4m+7=（m-2）²+3＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）①由直线y=x-1与抛物线交于A点，且在x轴上，
∴点A（1，0）代入二次函数函数式则m=3，
∴二次函数式为：，
当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=-2，即顶点C为（3，-2），
把x=3代入直线y=x-1则y=2，即点D（3，2），
则AD=AC=2，
设点P（x，），
由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，得
解得：x=3或x=5，
则点P（3，2）（与点D重合舍去）或（5，0），
经检验点（5，0）符合，所以点P（5，0），
②设直线CD平移n个单位可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
则M（3+n，n+2），N（3+n，（3+n）²﹣3（3+n）+），
根据平行四边形对边平行且相等的判定，只要MN=DC=4，
（ⅰ）当点M在点N上方，得（n+2）-[（3+n）²-3（3+n）+]=4，
整理，得n²-2n=0，解得，n=0（与DC重合，舍去），n=2，
（ⅱ）当点M在点N下方，得
[（3+n）²﹣3（3+n）+]-（n+2）=4，
整理，得n²-2n-16=0，解得，n=1±
综上所述，直线CD向右平移2或1+个单位或向左平移-1个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。