Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，CE是∠ACB的外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E.

(1)求证：△ABD∽△CED；

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）3.

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，再根据角平分线的性质可得∠ACE＝60°，再结合对顶角∠ADB＝∠CDE，即可证得结果；

（2）作BM⊥AC于点M，根据等边三角形的性质可得AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝，由AD＝2CD可得CD＝2，AD＝4，MD＝1，在Rt△BDM中，根据勾股定理可求得BD的长，再根据△ABD∽△CED结合相似三角形的性质可求的ED的长，即可求得结果.

（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°

∵CE是外角平分线

∴∠ACE＝60°

∴∠BAC＝∠ACE

又∵∠ADB＝∠CDE

∴△ABD∽△CED；

（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6

∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝

∵AD＝2CD，

∴CD＝2，AD＝4，MD＝1

在Rt△BDM中，BD＝＝

由（1）△ABD∽△CED得， ， ，

∴ED＝，

∴BE＝BD＋ED＝.