Question

（2013•晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当m=3时，点B的坐标为

（3，4）

，点E的坐标为

（0，1）

；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为-1，抛物线y=ax2-4

5

ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．

解答：解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）；

（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4-1=3，AE=AB=OC=m，
如图1，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由
勾股定理可得EC=

DE2-CD2

=

32-12

=2

2

，
则有OE=OC-CE=m-2

2

，
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²
即42+(m-2

2

)2=m2
解得m=3

2

…（7分）

（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得DP=

DE2-EP2

=

32-22

=

5

∴BF=DP=

5

，
在Rt△AEF中，AF=AB-BF=m-

5

，EF=5，AE=m
∵AF²+EF²=AE²
∴(m-

5

)2+52=m2
解得m=3

5

，
∴AB=3

5

，AF=2

5

，E（2

5

，-1）
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴

AF

AB

=

FG

BD

即

2 5

3 5

=

FG

3

，
解得FG=2，
∴EG=EF-FG=3
∴点G的纵坐标为2，
∵y=ax2-4

5

ax+10=a(x-2

5

)2+(10-20a)
∴此抛物线的顶点必在直线x=2

5

上，
又∵抛物线y=ax2-4

5

ax+10的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上，
∴-1＜10-20a＜2，
解得

2

5

＜a＜

11

20

故a的取值范围为

2

5

＜a＜

11

20

．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．