Question

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=2

3

．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设直线x=4与x轴的交点为F，易证得△ABC∽△AFE，根据相似三角形得到的比例线段即可求出EF的长，也就得到了E点的坐标；可用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将E点坐标代入其中进行判断即可；
（2）过M作y轴的平行线，交直线CN于P，交x轴于Q；根据抛物线的解析式可求出N点的坐标，进而可求出直线CN的解析式，设出Q点的坐标，即可根据抛物线和直线的解析式求出MP的长；以MP为底，C、N的横坐标差的绝对值为高即可得到△CMN的面积，由此可求出关于△CMN的面积与Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到△CMN的最大面积．

解答：解：（1）设抛物线的函数关系式为：y=a（x-4）²+m，
∵抛物线过C与原点O，
∴

16a+m=0 4a+m=2 3

，
解得：

a=- 3 6 m= 8 3 3

，
∴所求抛物线的函数关系式为：y=-

3

6

（x-4）²+

8 3

3

，
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，

-4k+b=0 2k+b=2 3

，
解得：

k= 3 3 b= 4 3 3

．
∴直线AC的函数关系式为：y=

3

3

x+

4 3

3

，
∴点E的坐标为（4，

8 3

3

）
∴此抛物线过E点．
（2）过M作MQ∥y轴，交x轴于Q，交直线CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2

3

）；
可得直线CN的解析式为y=-

3

3

x+

8 3

3

；
设点Q的坐标为（m，0），则P（m，-

3

3

m+

8 3

3

），M（m，-

3

6

m²+

4 3

3

m）；
∴MP=-

3

6

m²+

4 3

3

m-（-

3

3

m+

8 3

3

）=-

3

6

m²+

5 3

3

m-

8 3

3

；
∴S=S_△CMN=S_△CPM+S_△MNP=

1

2

MP•|x_M-x_C|+

1

2

MP•|x_N-x_M|=

1

2

MP•|x_N-x_C|=

1

2

×（-

3

6

m²+

5 3

3

m-

8 3

3

）×6=-

3

2

m²+5

3

m-8

3

；
即S=-

3

2

（m-5）²+

9 3

2

（2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴当m=5时，Smax=

9 3

2

；
即△CMN的最大面积为

9 3

2

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象交点坐标及图形面积的求法等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．