一、选择题
1. 如果锐角$A$的度数是$25^{\circ}$，那么下列结论中正确的是( )。
(A) $0<\sin A<\frac{1}{2}$ (B) $0<\cos A<\frac{\sqrt{3}}{2}$ (C) $\frac{\sqrt{3}}{3}<\tan A<1$ (D) $1<\cot A<\sqrt{3}$
答案：因为$\sin25^{\circ}<\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos25^{\circ}<1$，$\tan25^{\circ}<\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot30^{\circ}=\sqrt{3}>\cot25^{\circ}>1$，所以选D。
2. 在$Rt\triangle ACB$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 37^{\circ}$，$AC = 4$，则$BC$的长约为（$\tan37^{\circ}\approx0.75$）( )。
(A) 2.4 (B) 3.0 (C) 3.2 (D) 5.0
答案：因为$\tan A=\frac{BC}{AC}$，所以$BC = AC\cdot\tan A=4\times0.75 = 3.0$，选B。
3. 如果$\alpha$是锐角，则下列公式中成立的是( )。
(A) $\sin\alpha+\cos\alpha = 1$ (B) $\sin\alpha+\cos\alpha>1$ (C) $\sin\alpha+\cos\alpha<1$ (D) $\sin\alpha+\cos\alpha\leq1$
答案：设直角三角形中锐角$\alpha$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，则$\sin\alpha=\frac{a}{c}$，$\cos\alpha=\frac{b}{c}$，$\sin\alpha + \cos\alpha=\frac{a + b}{c}$，因为$a + b>c$，所以$\sin\alpha+\cos\alpha>1$，选B。
4. 锐角$A$的余弦值为$\frac{2}{3}$，下列关于锐角$A$的取值范围的说法中正确的是( )。
(A) $0^{\circ}
答案：因为$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，且余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$随角度增大而减小，$\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{2}{3}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$30^{\circ}
二、填空题
5. 若$\tan(\alpha - 15^{\circ})=\sqrt{3}$，则锐角$\alpha$的度数是______。
答案：因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$\alpha - 15^{\circ}=60^{\circ}$，则$\alpha = 75^{\circ}$。
6. 已知$\alpha$为锐角，且满足$\sqrt{3}\tan(\alpha + 10^{\circ}) = 1$，则$\alpha =$______。
答案：因为$\sqrt{3}\tan(\alpha + 10^{\circ}) = 1$，所以$\tan(\alpha + 10^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan30^{\circ}$，则$\alpha + 10^{\circ}=30^{\circ}$，$\alpha = 20^{\circ}$。
7. 计算：$\cos60^{\circ}+\sin^{2}45^{\circ}-\tan30^{\circ}\cdot\tan60^{\circ}=$______。
答案：$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin^{2}45^{\circ}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，则$\cos60^{\circ}+\sin^{2}45^{\circ}-\tan30^{\circ}\cdot\tan60^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\times\sqrt{3}=1 - 1=0$。
8. 若$\sin\alpha=\sqrt{2}\cos60^{\circ}$，则锐角$\alpha =$______°。
答案：因为$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$\sin\alpha=\sqrt{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则锐角$\alpha = 45^{\circ}$。
9. 计算：$\sin^{2}26^{\circ}+\cos^{2}26^{\circ}=$______。
答案：根据三角函数的平方关系$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，所以$\sin^{2}26^{\circ}+\cos^{2}26^{\circ}=1$。
10. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a$、$b$分别是$\angle A$、$\angle B$的对边，如果$\sin A:\sin B = 2:3$，那么$a:b$等于______。
答案：因为$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，$\sin A:\sin B = 2:3$，即$\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=2:3$，所以$a:b = 2:3$。
11. 如图，$A$、$B$、$C$三点在正方形网格线的格点处，若将$\triangle ABC$绕着点$A$逆时针旋转得到$\triangle AC'B'$，则$\tan B'$的值为______。
答案：通过网格可知$\tan B = \frac{1}{3}$，旋转前后对应角的三角函数值不变，所以$\tan B'=\frac{1}{3}$。
*12. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$\tan B=\frac{3}{4}$，点$M$在边$BC$上，$BM = 3$，点$N$是射线$BA$上一动点，连接$MN$，将$\triangle BMN$沿直线$MN$翻折，点$B$落在点$B'$处，连接$B'C$，如果$B'C\parallel AB$，那么$BN$的长是______。
答案：过点$A$作$AH\perp BC$于点$H$，因为$AB = AC$，所以$BH = CH$，由$\tan B=\frac{3}{4}$，设$AH = 3x$，$BH = 4x$，根据勾股定理$AB = 5x = 5$，则$x = 1$，$BH = 4$，$BC = 8$。设$BN = y$，分两种情况讨论：当点$B'$在$BC$下方时，因为$B'C\parallel AB$，所以$\triangle B'MC\sim\triangle BNA$，根据相似三角形性质和折叠性质求解可得$y = \frac{15}{7}$；当点$B'$在$BC$上方时，同理可得$y = 15$。所以$BN$的长是$\frac{15}{7}$或15。
三、解答题
13. 计算：
(1) $\cos30^{\circ}-2\sin^{2}45^{\circ}+\frac{2}{2\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}}$；(2) $2(1 - \cos30^{\circ})+\frac{2\sin60^{\circ}}{2\tan45^{\circ}-\cot30^{\circ}}$。
答案：(1)$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，则原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}-2\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{2}{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}-1}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\sqrt{3}+1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
(2)$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\cot30^{\circ}=\sqrt{3}$，则原式$=2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\times1 - \sqrt{3}}=2 - \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}=2 - \sqrt{3}+2\sqrt{3}+3=5 + \sqrt{3}$。
