2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期
注：当前书本只展示部分页码答案，查看完整答案请下载作业精灵APP。练习册2025年中学生数学课时精练九年级数学第一学期答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
一、选择题
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 5，∠A = α，那么BC的长是( )
(A) 5tanα
(B) 5cotα
(C) 5sinα
(D) 5cosα
答案：在直角三角形中，$\tan\alpha=\frac{BC}{AC}$，已知$AC = 5$，则$BC = AC\cdot\tan\alpha=5\tan\alpha$，答案是A。
2. 如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论中正确的是( )
(A) $CD = AB\cdot\tan B$
(B) $CD = AD\cdot\cot A$
(C) $CD = AC\cdot\sin B$
(D) $CD = BC\cdot\cos A$
答案：在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{CD}{AC}$，所以$CD = AC\cdot\sin B$，答案是C。
3. 如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠D = 90°，如果对角线AC⊥AB，那么$\frac{CD}{AC}$的值是( )
(A) $\sin B$
(B) $\cos B$
(C) $\tan B$
(D) $\cot B$
答案：因为$AD\parallel BC$，$AC\perp AB$，$\angle D = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle D=\angle BAC$，$\angle ACB=\angle CAD$，所以$\triangle ABC\sim\triangle DCA$，则$\frac{CD}{AC}=\sin\angle CAD$，又因为$\angle CAD=\angle ACB$，在$Rt\triangle ABC$中$\sin\angle ACB=\sin B$，所以$\frac{CD}{AC}=\sin B$，答案是A。
二、填空题
4. 在平面直角坐标系的第一象限内有一点P，$OP = 10$，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，那么点P的坐标为
答案：因为$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$OP = 10$，设点$P$坐标为$(x,y)$，$y = OP\cdot\sin\alpha=10\times\frac{3}{5}=6$，$\cos\alpha=\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$，$x = OP\cdot\cos\alpha=10\times\frac{4}{5}=8$，所以点$P$坐标为$(8,6)$。
5. 等腰三角形ABC中，$AB = AC$，$BD$、$CE$分别是边$AC$、$AB$上的中线，且$BD\perp CE$，那么$\tan\angle ABC=$
答案：设$AB = AC = 2x$，因为$BD$、$CE$是中线，则$AE = EB = AD = DC = x$，设$ED$中点为$O$，连接$AO$并延长交$BC$于$F$，由等腰三角形三线合一可知$AF\perp BC$，且$EF\parallel BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，因为$BD\perp CE$，根据勾股定理和等腰三角形性质可得$BC = \sqrt{5}x$，$BF=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，$AF=\frac{3\sqrt{5}}{2}x$，$\tan\angle ABC=\frac{AF}{BF}=\sqrt{2}$。
6. 在△ABC中，$AB = AC$，$AD\perp BC$，垂足为点D，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$AB = 12$，$\sin\angle BAC=$
答案：因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$AB = 12$，则$BD = 2\sqrt{3}$，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{144 - 12}=2\sqrt{33}$，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{33}}{6}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\sin\angle BAC = 2\sin B\cos B=2\times\frac{\sqrt{33}}{6}\times\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{11}}{6}$。
7. 在Rt△ABC中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$\tan C = 2$，$D$是$AC$上的动点，将△BCD沿BD翻折，如果点C落到△ABD内(不包括边)，那么CD的取值范围是
答案：因为$\tan C = 2$，设$AB = 2x$，$BC = x$，由勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$(2x)^{2}+x^{2}=25$，解得$x=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{5}$，$AB = 2\sqrt{5}$。当点$C$落在$AB$上时，设$CD = y$，则$AD = 5 - y$，$BC'=BC=\sqrt{5}$，$AC'=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$，在$Rt\triangle AC'D$中，根据勾股定理$(5 - y)^{2}=y^{2}-5 + 5$，解得$y = \frac{5}{2}$；当点$C$与点$A$重合时，$CD = 5$，所以$\frac{5}{3}\lt CD\lt\frac{5}{2}$。
8. 我们定义：等腰三角形中底边与腰之比叫做顶角的正对(sad)，在△ABC中，$AB = AC$，顶角$A$的正对记作$sadA(sad)$，$A=\frac{底边}{腰}=\frac{BC}{AB}$，已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$（$\alpha$为锐角），$sad\alpha=$
答案：设$\alpha$所在直角三角形对边为$3k$，斜边为$5k$，则邻边为$4k$，构造等腰三角形，作底边上的高，可得$sad\alpha=\frac{6}{5}$。
9. 如图，在△ABC中，$BD$是△ABC的中线，$BC = 2BD$，$AC = 6\sqrt{5}$，$\tan A=\frac{1}{2}$，那么$AB$的长为
答案：延长$BD$到$E$，使$DE = BD$，连接$AE$，可得$\triangle ADE\cong\triangle CDB$，$AE = BC$，因为$BC = 2BD$，所以$BE = BC = AE$，过$E$作$EF\perp AB$交$AB$延长线于$F$，设$EF = x$，因为$\tan A=\frac{1}{2}$，则$AF = 2x$，$AE=\sqrt{EF^{2}+AF^{2}}=\sqrt{5}x$，$BF=\sqrt{BE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{4x^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$，$AB = AF - BF = 2x-\sqrt{3}x$，在$\triangle AEF$中，$AE = BC = 12$，$x = \frac{12}{\sqrt{5}}$，$AB = 12$。
*10. 如图，已知在△ABC中，高$AD$、$BE$相交于点$F$，$\tan C=\frac{3}{2}$，$BD = CE = 6$，那么$EF$的长为
答案：在$Rt\triangle BEC$中，$\tan C=\frac{BE}{CE}=\frac{3}{2}$，$CE = 6$，则$BE = 9$，在$Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}$，设$CD = x$，则$AD=\frac{3}{2}x$，因为$\triangle BDF\sim\triangle ADC$，$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{CD}$，可求出$DF = 4$，所以$EF = BE - BF = 9-(9 - 4)=4$。
