新课标同步单元练习八年级数学北师大版深圳专版
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1. 我们知道，二次根式乘除法有如下性质：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b＞0)$，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
(1)请你举些例子比较$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a + b}(a\geq0,b\geq0)$的大小，并提出猜想；（至少举 3 例）
(2)请利用学过的知识说明你的猜想。
答案：(1)例子：当$a = 1$，$b = 1$时，$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$，$\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}\approx1.414$，$2＞\sqrt{2}$；当$a = 2$，$b = 2$时，$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx2.828$，$\sqrt{2 + 2}=2$，$2\sqrt{2}＞2$；当$a = 0$，$b = 0$时，$\sqrt{0}+\sqrt{0}=0$，$\sqrt{0 + 0}=0$，$0 = 0$。猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a + b}(a\geq0,b\geq0)$，当且仅当$a = 0$或$b = 0$时等号成立。
(2)证明：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a + 2\sqrt{ab}+b$，$(\sqrt{a + b})^{2}=a + b$，因为$a\geq0$，$b\geq0$，所以$2\sqrt{ab}\geq0$，则$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\geq(\sqrt{a + b})^{2}$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a + b}$。
2. 鹏鹏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如，$3 + 2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2}$，于是鹏鹏进行了以下探索：设$p + q\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^{2}$（其中$p$，$q$，$m$，$n$均为正整数），则有$p + q\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}$（有理数和无理数分别对应相等），所以$p = m^{2}+2n^{2}$，$q = 2mn$，这样鹏鹏就找到了一种把式子$p + q\sqrt{2}$化为平方式的方法。请你仿照鹏鹏的方法解决下列问题：
(1)当$a$，$b$，$c$，$d$均为正整数时，若$a + b\sqrt{3}=(c + d\sqrt{3})^{2}$，用含$c$，$d$的式子分别表示$a$，$b$，$a=$________，$b=$________；
(2)若$x + 4\sqrt{7}=(m + n\sqrt{7})^{2}$，当$x$，$m$，$n$均为正整数时，求$x$的值；
(3)化简：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$。
答案：(1)$c^{2}+3d^{2}$，$2cd$
解析：$(c + d\sqrt{3})^{2}=c^{2}+2cd\sqrt{3}+3d^{2}$，则$a = c^{2}+3d^{2}$，$b = 2cd$。
(2)11 或 29
解析：$(m + n\sqrt{7})^{2}=m^{2}+2mn\sqrt{7}+7n^{2}$，则$2mn = 4$，$mn = 2$，$m$，$n$为正整数，$m = 1$，$n = 2$时，$x = 1^{2}+7×2^{2}=1 + 28 = 29$；$m = 2$，$n = 1$时，$x = 2^{2}+7×1^{2}=4 + 7 = 11$
(3)$\sqrt{5}-2$
解析：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^{2}}=\sqrt{5}-2$（因为$\sqrt{5}＞2$）。
