新课标同步单元练习八年级数学北师大版深圳专版
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2.【阅读材料】
问题:已知$x = \sqrt{2}+1$,求$x^2-2x + 2$的值。
小南的解法:
因为$x=\sqrt{2}+1$,
所以$x - 1=\sqrt{2}$,
所以$(x - 1)^2=2$,
所以$x^2-2x + 1=2$,
所以$x^2-2x=1$,
所以$x^2-2x + 2=1 + 2=3$。
小南的解法是将已知条件适当地变形,再整体代入所求代数式进行解答。
小方的解法:
因为$x^2-2x + 2$
$=x^2-2x + 1+1$
$=(x - 1)^2+1$,
所以当$x = \sqrt{2}+1$时,
原式$=(\sqrt{2}+1 - 1)^2+1$
$=2 + 1=3$。
小方的解法是将所求代数式适当地变形,把已知条件代入变形式进行解答。
【解决问题】
(1)请你仿照小南或小方的解法,解决问题:已知$x=\sqrt{5}-3$,求$x^2 + 6x-4$的值;
(2)请你参考小南和小方的解法,运用恰当的方法解决问题:已知$x=\frac{\sqrt{10}-2}{3}$,求$6x^3 + 11x^2$的值。
答案:(1)因为$x=\sqrt{5}-3$,所以$x + 3=\sqrt{5}$,$(x + 3)^2=5$,$x^2 + 6x + 9=5$,$x^2 + 6x=-4$,所以$x^2 + 6x-4=-4 - 4=-8$。
(2)由$x=\frac{\sqrt{10}-2}{3}$得$3x=\sqrt{10}-2$,$3x + 2=\sqrt{10}$,$(3x + 2)^2=10$,$9x^2 + 12x + 4=10$,$9x^2 + 12x=6$,$3x^2 + 4x=2$。
$6x^3 + 11x^2=x(6x^2 + 11x)=x[2(3x^2 + 4x)+3x]=x(2×2 + 3x)=x(4 + 3x)=3x^2 + 4x=2$。