答案：B
解析：方程$x^{2}+3x = 5$，配方时需在两边加上一次项系数一半的平方，即$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$，所以选B。

答案：9
解析：解方程$x^{2}-4x + 3=0$，因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当第三边为1时，$2 + 1=3$，不满足；当第三边为3时，满足条件，周长为$2 + 4 + 3=9$。

答案：$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$
解析：$x^{2}+x-\frac{3}{4}=0$，移项得$x^{2}+x=\frac{3}{4}$，配方得$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$，$(x+\frac{1}{2})^{2}=1$，开方得$x+\frac{1}{2}=\pm1$，解得$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$。

答案：$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{13}}{4}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{13}}{4}$
解析：$4x^{2}-6x - 1=0$，二次项系数化为1得$x^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}=0$，移项得$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$，配方得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$，$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{13}{16}$，开方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{13}}{4}$，解得$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{13}}{4}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{13}}{4}$。

答案：无实数根
解析：$2x^{2}-4x + 5=0$，二次项系数化为1得$x^{2}-2x+\frac{5}{2}=0$，移项得$x^{2}-2x=-\frac{5}{2}$，配方得$x^{2}-2x + 1=-\frac{5}{2}+1$，$(x - 1)^{2}=-\frac{3}{2}$，因为平方数不能为负，所以无实数根。

答案：$x_{1}=0$，$x_{2}=-4$
解析：设$y=1 + x$，方程化为$y^{2}+2y - 3=0$，移项得$y^{2}+2y=3$，配方得$y^{2}+2y + 1=3 + 1$，$(y + 1)^{2}=4$，开方得$y + 1=\pm2$，$y_{1}=1$，$y_{2}=-3$，即$1 + x=1$或$1 + x=-3$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-4$。

答案：证明：$2x^{2}-4x + 7=2(x^{2}-2x)+7=2(x^{2}-2x + 1 - 1)+7=2[(x - 1)^{2}-1]+7=2(x - 1)^{2}-2 + 7=2(x - 1)^{2}+5$，因为$(x - 1)^{2}\geq0$，所以$2(x - 1)^{2}+5\geq5\gt0$，即$2x^{2}-4x + 7$的值恒大于零。

答案：C
解析：$x^{2}-4x - 1=0$，移项得$x^{2}-4x=1$，配方得$x^{2}-4x + 4=1 + 4$，$(x - 2)^{2}=5$，所以选C。

答案：D
解析：$x^{2}-6x + 8=0$，移项得$x^{2}-6x=-8$，配方得$x^{2}-6x + 9=-8 + 9$，$(x - 3)^{2}=1$，所以选D。

答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=3$
解析：$x^{2}-4x + 3=0$，移项得$x^{2}-4x=-3$，配方得$x^{2}-4x + 4=-3 + 4$，$(x - 2)^{2}=1$，开方得$x - 2=\pm1$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。