全品学练考九年级数学苏科版徐州专版
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9. （2023淮安清江浦区月考）小明与小红两位同学解方程$2(x + 3)=(x + 3)^{2}$的过程如下：
小明：两边都除以$(x + 3)$，得$2=x + 3$，则$x=-1$.
小红：移项，得$2(x + 3)-(x + 3)^{2}=0$，提取公因式，得$(x + 3)(2 - x - 3)=0$，则$x + 3=0$或$2 - x - 3=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$.
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内横线上打“√”；若错误，请在框内横线上打“×”，并写出正确的解答过程.
答案：小明：×；小红：√
解析：小明的解法错误，因为当$x + 3=0$时，两边不能同时除以$(x + 3)$，会丢失根$x=-3$。小红的解法正确，通过移项、提取公因式因式分解，得到$(x + 3)(-x - 1)=0$，即$(x + 3)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$。
10. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx + n=0$的两个实数根分别为$5$，$-6$，则二次三项式$x^{2}+mx + n$可分解为（
B
）
A. $(x + 5)(x - 6)$
B. $(x - 5)(x + 6)$
C. $(x + 5)(x + 6)$
D. $(x - 5)(x - 6)$
答案：B
解析：因为方程$x^{2}+mx + n=0$的根为$5$和$-6$，所以二次三项式可分解为$(x - 5)(x + 6)$，故选B。
11. 关于$x$的方程$x(x - 1)=3(x - 1)$，下列解法完全正确的是（
D
）
甲：两边同时除以$(x - 1)$，得$x=3$.
乙：整理得$x^{2}-4x=-3$，$\because a=1$，$b=-4$，$c=3$，$b^{2}-4ac=16 - 12=4$，$\therefore x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm2}{2}$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$.
丙：整理得$x^{2}-4x=-3$，配方得$x^{2}-4x + 4=1$，$\therefore (x - 2)^{2}=1$，$\therefore x - 2=\pm1$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$.
丁：移项，得$x(x - 1)-3(x - 1)=0$，$\therefore (x - 3)(x - 1)=0$，$\therefore x - 3=0$或$x - 1=0$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=1$.
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
答案：D
解析：甲的解法错误，当$x - 1=0$时不能直接除以$(x - 1)$；乙中$c$的值应为$3$，计算正确但步骤表述中$c=-3$错误；丙的配方过程正确，结果正确；丁通过因式分解求解，步骤和结果均正确，且更简便，故选D。
12. 方程$2(x - 2)^{2}=x^{2}-4$的解是
$x_{1}=2$，$x_{2}=6$
.
答案：$x_{1}=2$，$x_{2}=6$
解析：原方程变形为$2(x - 2)^{2}-(x + 2)(x - 2)=0$，提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)[2(x - 2)-(x + 2)]=0$，化简为$(x - 2)(x - 6)=0$，则$x - 2=0$或$x - 6=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=6$。
13. （2024南京期末）若关于$x$的一元二次方程$a(x - m)^{2}-2a(x - m)=0(a\neq0)$有实数根$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}＜1＜x_{2}$，则$m$的取值范围是
$-1＜m＜1$
.
答案：$-1＜m＜1$
14. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx + c=0$的根为$x_{1}=-1$，$x_{2}=2$，则将多项式$x^{2}+bx + c$分解因式的结果为
$(x + 1)(x - 2)$
.
答案：$(x + 1)(x - 2)$
解析：因为方程的根为$-1$和$2$，所以多项式可分解为$(x + 1)(x - 2)$。
题组专练 利用十字相乘法分解因式解一元二次方程
例（1）将$2x^{2}-3x - 2$进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：
解：①竖分二次项与常数项：$2x^{2}=x\cdot2x$，$-2=(-2)×1$.
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
$\begin{array}{c|cc}&x&-2\\\hline2x&2x^{2}&-4x\\1&x&-2\\\end{array}$
$2x×1 + x×(-2)=2x - 2x=0$（不符合），调整为：
$\begin{array}{c|cc}&x&1\\\hline2x&2x^{2}&2x\\-2&-2x&-2\\\end{array}$
$2x×(-2)+x×1=-4x + x=-3x$（符合）.
③横向写出两因式：$2x^{2}-3x - 2=(x - 2)(2x + 1)$.
我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
（2）根据乘法原理：若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$.
试用上述方法和原理解下列方程：
①$x^{2}-3x + 2=0$;
答案：$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)=0$，则$x - 1=0$或$x - 2=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
②$x^{2}-x - 6=0$;
答案：$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-x - 6=(x - 3)(x + 2)=0$，则$x - 3=0$或$x + 2=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$。
③方程$x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0$的解为
$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}$
;
答案：$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=(x - \sqrt{2})(x - \sqrt{3})=0$，解得$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=\sqrt{3}$。
④方程$2x^{2}+x - 6=0$的解为
$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-2$
;
答案：$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-2$
解析：十字相乘法分解因式，$2x^{2}+x - 6=(2x - 3)(x + 2)=0$，则$2x - 3=0$或$x + 2=0$，解得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-2$。
变式1 方程$x^{2}-x - 12=0$的解是
$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$
.
答案：$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$
解析：十字相乘法分解因式，$x^{2}-x - 12=(x - 4)(x + 3)=0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-3$。
变式2 已知$x^{2}+xy - 6y^{2}=0(x\neq0且y\neq0)$，则$\frac{y}{x}$的值是
$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{3}$
.
答案：$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$
解析：方程$x^{2}+xy - 6y^{2}=0$，两边同除以$x^{2}$得$1+\frac{y}{x}-6(\frac{y}{x})^{2}=0$，设$t=\frac{y}{x}$，则$-6t^{2}+t + 1=0$，即$6t^{2}-t - 1=0$，因式分解为$(2t - 1)(3t + 1)=0$，解得$t_{1}=\frac{1}{2}$，$t_{2}=-\frac{1}{3}$，即$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{3}$
