学生基础性作业九年级数学人教版
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5. 方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的根为______.
答案：$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
解析：$a=2$，$b=3$，$c=-1$，$\Delta=3^2 - 4×2×(-1)=9 + 8=17$，$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
6. 一元二次方程$x^2 - 2(a - 2)x + a^2 - 4 = 0$有两个实数根，则$a$的取值范围是______.
答案：$a\leqslant2$
解析：$\Delta=[-2(a - 2)]^2 - 4×1×(a^2 - 4)=4(a^2 - 4a + 4)-4a^2 + 16=4a^2 - 16a + 16 - 4a^2 + 16=-16a + 32$，因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$-16a + 32\geqslant0$，解得$a\leqslant2$.
7. 用公式法解方程：
（1）$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$；
（2）$3x(x - 3)=2(x - 1)(x + 1)$.
答案：（1）$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$，$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1=12 - 12=0$，$x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
（2）$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$
解析：方程化为$3x^2 - 9x = 2x^2 - 2$，即$x^2 - 9x + 2 = 0$，$a=1$，$b=-9$，$c=2$，$\Delta=(-9)^2 - 4×1×2=81 - 8=73$，$x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$，即$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$.
8. 若一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$中的$\Delta=0$，则方程的两个根为______.
答案：$x_1=x_2=-1$
解析：$\Delta=2^2 - 4×1× m=4 - 4m=0$，解得$m=1$，方程为$x^2 + 2x + 1 = 0$，即$(x + 1)^2=0$，$x_1=x_2=-1$.
9. 关于$x$的方程$mx^2 + x - m + 1 = 0$有以下三个结论：①当$m=0$时，方程只有一个实数解；②当$m\neq0$时，方程有两个不等的实数解；③无论$m$取何值，方程都有一个负数解. 其中正确的是______（填序号）.
答案：①③
解析：①当$m=0$时，方程为$x + 1 = 0$，解得$x=-1$，只有一个实数解，正确；②当$m\neq0$时，$\Delta=1^2 - 4m(-m + 1)=1 + 4m^2 - 4m=(2m - 1)^2\geqslant0$，方程有两个相等或不等的实数解，错误；③当$m=0$时，解为$x=-1$；当$m\neq0$时，若$x=1$，则$m + 1 - m + 1=2\neq0$，若$x=-1$，则$m - 1 - m + 1=0$，所以$x=-1$是方程的根，即无论$m$取何值，方程都有一个负数解$x=-1$，正确，故填①③.
10. 已知一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$. 在下面的四组条件中选择其中一组$b$，$c$的值，使这个方程有两个不等的实数根，并解这个方程.
①$b=2$，$c=1$；②$b=3$，$c=1$；③$b=3$，$c=-1$；④$b=2$，$c=2$.
答案：选择②，方程的根为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$（答案不唯一）
解析：选择②，$b=3$，$c=1$，方程为$x^2 + 3x + 1 = 0$，$\Delta=3^2 - 4×1×1=9 - 4=5＞0$，$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.
