学生基础性作业九年级数学人教版
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8. 设$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-mx=0$的两个根，且$x_{1}+x_{2}=-3$，则$m$的值是______.
答案：-3
解析：方程$x^{2}-mx=0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=0$，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=m$，已知$x_{1}+x_{2}=-3$，故$m=-3$。
9. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的两个实数根，则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是______.
答案：-11
解析：方程$x^{2}-3x-5=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-5$，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-5$。$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}=3^{2}-(-5)=9 + 5=14$。
10. 若一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的两个根为$m,n$，则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为______.
答案：$\frac{7}{2}$
解析：因为$m$是方程$2x^{2}-4x-1=0$的根，所以$2m^{2}-4m-1=0$，即$2m^{2}-4m=1$，$m^{2}-2m=\frac{1}{2}$。由韦达定理得$m + n=-\frac{-4}{2}=2$，$mn=-\frac{1}{2}$。$3m^{2}-4m + n^{2}=2m^{2}-4m + m^{2}+n^{2}=1+(m + n)^{2}-2mn=1 + 2^{2}-2×(-\frac{1}{2})=1 + 4 + 1=6$。
11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x + k-3=0$有实数根.
（1）求实数$k$的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，求$k$的值.
答案：（1）$k\leqslant\frac{21}{4}$
解析：方程$x^{2}+3x + k-3=0$中，$\Delta=3^{2}-4×1×(k - 3)=9-4k + 12=21-4k$，因为方程有实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$21-4k\geqslant0$，解得$k\leqslant\frac{21}{4}$。
（2）$k=5$
解析：由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=k - 3$。$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=(k - 3)+(-3)+1=k - 5$，已知$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，所以$k - 5=-1$，解得$k=5$，且$5\leqslant\frac{21}{4}$，符合题意。
12. 法国数学家韦达在其著作中建立了方程根与系数的关系，人们把这个表示方程根与系数关系的定理称为韦达定理.
韦达定理的内容如下：已知一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$，它的两个根$\alpha,\beta$满足关系$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$，$\alpha\beta=\frac{c}{a}$. 韦达定理还有逆定理，内容如下：如果两个数$\alpha$和$\beta$满足关系$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$，$\alpha\beta=\frac{c}{a}$，那么这两个数$\alpha$和$\beta$是方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$的根. 通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两个数的和、积的关系构造一元二次方程.
请应用上述材料解决以下问题：
（1）材料理解
已知$m,n$是两个不等的实数，若$m + n=3$，$mn=-1$，则$m,n$可以看成是一元二次方程______的两个根.
（2）类比应用
已知$m,n$是两个不等的实数，且满足$mn+(m + n)=13$，$mn(m + n)=42$.
① 请写出一个以$mn$和$m + n$的值为根的一元二次方程.
② 若$m + n＞mn$，请根据你写的方程求出$m + n$和$mn$的值.
答案：（1）$x^{2}-3x - 1=0$
解析：设方程为$x^{2}-(m + n)x + mn=0$，将$m + n=3$，$mn=-1$代入得$x^{2}-3x - 1=0$。
（2）① $x^{2}-13x + 42=0$
解析：设$p=mn$，$q=m + n$，则$p + q=13$，$pq=42$，方程为$x^{2}-(p + q)x + pq=0$，即$x^{2}-13x + 42=0$。
② $m + n=7$，$mn=6$
解析：解方程$x^{2}-13x + 42=0$，$(x - 6)(x - 7)=0$，得$x=6$或$x=7$。因为$m + n＞mn$，所以$m + n=7$，$mn=6$。
