学生基础性作业九年级数学人教版
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12. 证明勾股定理时常用到如图所示的图形，$a,b,c$是$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的边长，显然$AE=\sqrt{2}c$，我们把关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$称为“弦系一元二次方程”. 请解决下列问题.
（1）判断方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$是否是“弦系一元二次方程”，并说明理由.
（2）直接写出一个“弦系一元二次方程”.
（3）求证：关于$x$的“弦系一元二次方程”必有实数根.
答案：（1）不是
解析：对比“弦系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$，方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$中，$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$，$c=\sqrt{5}$，此时$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，而$Rt\triangle$中$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=2 + 3=5=(\sqrt{5})^{2}$，但题目中$a,b,c$是两个$Rt\triangle$的边长，条件未明确$a,b,c$关系，原方程不符合定义，故不是。
（2）$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一，满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$即可）
解析：取$a=3$，$b=4$，则$c=5$，方程为$3x^{2}+\sqrt{2}×5x + 4=3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
（3）证明：$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$，因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geqslant0$，故方程必有实数根。
