学生基础性作业九年级数学人教版
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12. 定义：关于$x$的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$（其中$a$，$b$，$c$是常数，且$ac\neq0$）是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（其中$a$，$b$，$c$是常数，且$ac\neq0$）的“友好方程”. 如：$-2x^{2}-x+1=0$是$x^{2}-x-2=0$的“友好方程”.
（1）概念感知
$2x^{2}-3x-2=0$的“友好方程”是________.
答案：$-2x^{2}-3x+2=0$
解析：原方程$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，友好方程为$cx^{2}+bx+a=0$，即$-2x^{2}-3x+2=0$.
（2）问题探究
①已知一元二次方程$x^{2}+2x-8=0$的两个根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-4$，那么$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$是否为该方程的“友好方程”的解？请说明理由.
②根据上述结论，猜想$ax^{2}+bx+c=0$的两个根$x_{1}$，$x_{2}$与其“友好方程”$cx^{2}+bx+a=0$的两个根$x_{3}$，$x_{4}$之间存在哪种特殊关系，不需证明.
答案：①是；②互为倒数
解析：①原方程$x^{2}+2x-8=0$的友好方程为$-8x^{2}+2x+1=0$. 当$x=\frac{1}{2}$时，左边$=-8×(\frac{1}{2})^{2}+2×\frac{1}{2}+1=0$；当$x=-\frac{1}{4}$时，左边$=-8×(-\frac{1}{4})^{2}+2×(-\frac{1}{4})+1=0$，故是解.
②$x_{3}=\frac{1}{x_{1}}$，$x_{4}=\frac{1}{x_{2}}$.
（3）拓展提升
已知关于$x$的方程$2025x^{2}+bx-1=0$的两个根是$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{2025}$. 请利用（2）中的结论，直接写出关于$x$的方程$(x-1)^{2}-bx+b=2025$的两个根.
答案：0和2026
解析：原方程$2025x^{2}+bx-1=0$的友好方程为$-x^{2}+bx+2025=0$，其根为$-1$和2025（由（2）②）. 方程$(x-1)^{2}-bx+b=2025$可化为$(x-1)^{2}-b(x-1)-2025=0$，设$y=x-1$，则$y^{2}-by-2025=0$，根为$y=-1$或2025，故$x=0$或2026.
