学法大视野九年级数学华师大版
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2.（2024宁乡期中）将一元二次方程$2x^2 + 3=5x$化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
（A）2，-5 （B）2，5 （C）2，3 （D）$2x^2$，-5x
答案：A
解析：方程化为$2x^2 - 5x + 3=0$，二次项系数2，一次项系数$-5$。
3.关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^2 + x + a^2 - 1=0$的一个根是0，则$a$的值为（ ）
（A）1 （B）-1 （C）1或-1 （D）$\frac{1}{2}$
答案：B
解析：代入$x=0$得$a^2 - 1=0$，$a=\pm1$，又$a - 1\neq0$，则$a=-1$。
4.（2024云南）两年前生产1kg甲种药品的成本为80元，现在生产1kg甲种药品的成本为60元。设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，根据题意，下列方程正确的是（ ）
（A）$80(1 - x^2)=60$ （B）$80(1 - x)^2=60$ （C）$80(1 - x)=60$ （D）$80(1 - 2x)=60$
答案：B
解析：年平均下降率公式为$80(1 - x)^2=60$。
5.将方程$x(x - 1)=3x + 1$化为一元二次方程的一般形式为______.
答案：$x^2 - 4x - 1=0$
解析：$x^2 - x=3x + 1$，$x^2 - 4x - 1=0$。
6.为增强学生身体素质，某开开展足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）。现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请$x$个球队参赛，根据题意，可列方程为______（不必化简）.
答案：$\frac{1}{2}x(x - 1)=21$
解析：单循环比赛场数公式为$\frac{1}{2}x(x - 1)=21$。
7.已知方程$ax^2 + 2x + 1=3x^2 - 5x$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围为______.
答案：$a\neq3$
解析：整理得$(a - 3)x^2 + 7x + 1=0$，$a - 3\neq0$，$a\neq3$。
8.已知下列一元二次方程：
第1个方程：$3x^2 + 2x - 1=0$；
第2个方程：$5x^2 + 4x - 1=0$；
第3个方程：$7x^2 + 6x - 1=0$；
……
按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为______.
答案：$17x^2 + 16x - 1=0$
解析：二次项系数$2n + 1$，一次项系数$2n$，常数项$-1$，第8个方程$n=8$，$17x^2 + 16x - 1=0$。
9.下列方程中，哪些是关于$x$的一元二次方程？若是，将其化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数。
（1）$3x^2-\frac{1}{x}-2=0$；
（2）$x^2=x$；
（3）$ax^2 + 5a + 2=0$；
（4）$(x + 1)(x - 2)=5$；
（5）$(2x + 1)^2=4x^2 - 2$.
答案：（2）是，$x^2 - x=0$，二次项$x^2$，二次项系数1；一次项$-x$，一次项系数$-1$；常数项0
（4）是，$x^2 - x - 7=0$，二次项$x^2$，二次项系数1；一次项$-x$，一次项系数$-1$；常数项$-7$
（1）不是，（3）缺$a\neq0$，（5）化简后为一次方程
10.已知$x=n$是关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 4x - 5=0$的一个根，若$mn^2 - 4n + m=6$，求$m$的值.
答案：解：把$x=n$代入方程，得$mn^2-4n-5=0$，即$mn^2-4n=5$，代入$mn^2-4n+m=6$，
得5+m=6，解得m=1
