Question

数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27，代入可求；（Ⅱ）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列，从而有2b_n=b_n-1+b_n+1，．故可求；（Ⅲ）先求出数列的通项，再求和．
解答：解：（Ⅰ）由a₃=27，27=2a₂+2³+1----------（1分）∴a₂=9----------（2分）
∴9=2a₁+2²+1∴a₁=2------------（3分）
（Ⅱ）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列．
则2b_n=b_n-1+b_n+1------------（4分）∴
∴4a_n=4a_n-1+a_n+1+t------------（5分）∴∴t=1------------（6分）
存在t=1，使得数列{b_n}为等差数列．------------（7分）
（Ⅲ）由（1）、（2）知：------------（8分）
又{b_n}为等差数列.∴------------（9分）
∴S_n=3×2-1+5×2¹-1+7×2²-1+…+（2n+1）×2^n-1-1=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1-n
∴2S_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）×2ⁿ-2n∴-S_n=3+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n+1）×2ⁿ+n----------（11分）=
=（1-2n）×2ⁿ+n-1S_n=（2n-1）×2ⁿ-n+1------------（13分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，存在性问题的求解，同时考查错位相减法求和．