Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率是

1

2

，且左顶点与右焦点F的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆C于A、B两点，A、B在右准线l上的射影分别为M、N．求证：AN与BM的交点在x轴上．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意得

c

a

=

1

2

，a+c=3，可得a，c，再由a²=b²+c²可得b；
（2）：①当AB垂直于x轴时，易证明；②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），写出直线AN、BM的方程联立，及韦达定理可求得AN与BM的交点，由其坐标可得结论；

解答：（1）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则由

c

a

=

1

2

，a+c=3，得a=2，c=1，b²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：①当AB垂直于x轴时，AB的坐标分别为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，AN与BM的交点为(

5

2

，0)在x轴上．
②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（4，y₁），N（4，y₂），且

x1+x2= 8k2 4k2+3 x1x2= 4k2-12 4k2+3

，
∵直线AN方程是

y-y1

y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，直线BM方程是

y-y1

y2-y1

=

x-4

x2-4

．
联立，得

y-y1 y2-y1 = x-x1 4-x1 y-y1 y2-y1 = x-4 x2-4

，消去y，得：

x-4

x2-4

=

x-4

x2-4

．
即（x₁+x₂-8）x=x₁x₂-16，即x=

x1x2-16

x1+x2-8

=

5

2

，
把x=

5

2

代入直线AN的方程

y-y1

y2-y1

=

x-x1

4-x1

，
得y=y1+

y2-y1

4-x1

(

5

2

-x1)=

3 2 y1+ 5 2 y2-x1y2

4-x1

=

k[ 5 2 (x1+x2)-x1x2-4]

4-x1

=0，
∴AN与BM交于点(

5

2

，0)是x轴上一定点．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的方程及性质，考查学生的运算求解能力，难度较大．