Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=，CC₁=，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E为棱AB的中点，F为CC₁上的动点．
（Ⅰ）在线段CC₁上是否存在一点F，使得EF∥平面A₁BC₁？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）在线段CC₁上是否存在一点F，使得EF⊥BB₁？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．
（ III）当F为CC₁的中点时，若AC≤CC₁，且EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）存在，中点，利用线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C₁一侧的四等分点时．
（III）建立空间直角坐标系，确定平面ACC₁A₁、平面AA₁B的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
解答：解：（I）存在，中点．
取A₁B的中点D，连接ED，DC₁，则ED∥AA₁，ED=AA₁，
∵F为CC₁上的动点，∴ED∥FC₁，ED=FC₁，
∴四边形DEFC₁是平行四边形
∴EF∥DC₁，
∴EF?平面A₁BC₁，DC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）存在，当F在靠端点C₁一侧的四等分点时．
（III）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACC₁A₁的一个法向量为
又
则，，令z₁=1，则
又
∴=…（6分）
解得b=1，或，
∵AC≤CC₁∴b=1
∴
同理可求得平面AA₁B的一个法向量
∴=
又二面角C-AA₁-B为锐二面角，故余弦值为．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．