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    根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律：
    （1）
     
    ；（2）
     
    ；（3）
     
    ．
    分析：证明等式成立，把两边看成两个向量，先证模相等，再证明方向也相同．
    解答：解：（1）λ（μ
    a
    ）=（λμ）
    a
    ，（2）（λ+μ）
    a
    =λ
    a
    +μ
    a
    ，（3）λ （
    a
    +
    b
    ）=λ
    a
    +μ
    b
    ．
    证明：（1）若λ=0 或μ=0，或
    a
    =
    0
    ，等式显然成立．若λμ≠0，
    a
    ≠
    0
    ，
    |λ（μ
    a
    ）|=|λ||μ
    a
    |=|λ||μ||
    a
    |，|（λμ）
    a
    |=|λμ||
    a
    |=|λ||μ||
    a
    |，
    即|λ（μ
    a
    ）|=|（λμ）
    a
    |．若λ、μ同号，则等式两边都与
    a
    同向，若λ、μ异号，则等式两边都与
    a
    反向，
    故 λ（μ
    a
    ）与（λμ）
    a
    的模相同，方向相同，故这两个向量相等．
    （2）若λ=0 或μ=0，或
    a
    =
    0
    ，等式显然成立．若λμ≠0，
    a
    ≠
    0
    ，若λ和μ同号，
    |（λ+μ）
    a
    |=|λ+μ||
    a
    |=（|λ|+|μ|）|
    a
    |，|λ
    a
    +μ
    a
    |=|λ
    a
    |+|μ
    a
    |=（|λ|+|μ|）|
    a
    |，
    即|（λ+μ）
    a
    |=|λ
    a
    +μ
    a
    |，等式两边都与
    a
    同向，或都与
    a
    反向，故等式成立．
    若λ和μ异号，当λ＞μ时，等式两边都与λ
    a
    同向，当λ＜μ时，等式两边都与λ
    a
    反向，
    还可证明|（λ+μ）
    a
    |=|λ
    a
    +μ
    a
    |，故等式一定成立．
    （3）当
    a
    ，
    b
    中有一个等于零时，或λ=0或1时，等式显然成立．
    当
    a
    ，
    b
    都不等于0且λ≠1，λ≠0，
    当λ＞0且λ≠1时，如图所示，设
    OA
    =
    a
    ，
    AB
    =
    b
    ，
    OA1
    =λ
    a
    ，
    A1B1
    =λ
    b
    ，
    则
    OB
    =
    a
    +
    b
    ，
    OB1
    =λ
    a
    +λ
    b
    ，由作法知 
    AB
    ∥
    A1B1
    ，∴|
    A1B1
    |=λ|
    AB
    |，
    ∴|
    OB1
    |=λ|
    OB
    |，且
    OB1
     与
    OB
    方向也相同，故有
    OB1
    =λ 
    OB
    ，λ （
    a
    +
    b
    ）=λ
    a
    +μ
    b
     成立．
    当λ＜0时，同理可证．
    综上，λ （
    a
    +
    b
    ）=λ
    a
    +μ
    b
     成立．
    故答案为 λ（μ
    a
    ）=（λμ）
    a
    、（λ+μ）
    a
    =λ
    a
    +μ
    a
    、λ （
    a
    +
    b
    ）=λ
    a
    +μ
    b
    ．
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    点评：本题考查向量的数乘的定义及几何意义，体现了数形结合的数学思想．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取
    e1
    和
    e2
    为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量
    a
    ，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得
    a
    =λ
    e1
    +μ
    e2
    ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量
    a
    的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用
    i
    和
    j
    表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜
    i
    ，
    j
    ＞=
    π
    3
    ，
    （1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量
    i
    和
    j
    做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量
    a
    的坐标；
    （2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取数学公式和数学公式为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量数学公式，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得数学公式=数学公式+μ数学公式，我们就把实数对（λ，μ）称作向量数学公式的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用数学公式和数学公式表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜数学公式，数学公式＞=数学公式，
    （1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量数学公式和数学公式做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量数学公式的坐标；
    （2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取
    e1
    和
    e2
    为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量
    a
    ，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得
    a
    =λ
    e1
    +μ
    e2
    ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量
    a
    的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用
    i
    和
    j
    表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜
    i
    ，
    j
    ＞=
    π
    3
    ，
    （1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量
    i
    和
    j
    做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量
    a
    的坐标；
    （2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷（必修4）（解析版） 题型：解答题

    出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取和为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得=+μ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜，＞=，
    （1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量和做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量的坐标；
    （2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

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