Question

已知函数f(x)=(

1

2

)|x|．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）作f（x）的图象，并根据图象指出其单调区间；
（3）若函数g(x)=(

1

2

)|x-2|，试叙述g（x）的图象可由f（x）的图象经过怎么样的图象变化得到．并求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶函数的定义判断即可；
（2）作出函数y= (

1

2

)x (x≥0)的图象，就是f(x)=(

1

2

)|x|y轴右侧的图象，然后利用偶函数的图象的对称性作出f(x)=(

1

2

)|x|左侧的图象即可得到f（x）的图象，再根据图象可得其单调区间；
（3）利用g（x）与f（x）的函数关系式之间的关系利用图象的变换可解决问题．

解答：解：（1）∵函数f(x)=(

1

2

)|x|的定义域为R
∴定义域关于原点对称
又∵f（-(

1

2

)|-x| =(

1

2

)|x|=f（x）
∴f（x）为偶函数
（2）由于f（x）为偶函数故只需作出函数y= (

1

2

)x (x≥0)的图象，就是f(x)=(

1

2

)|x|y轴右侧的图象再将图象关于y轴对称即可得到f（x）的图象（如右图）．
由图可知f（x）的增区间为（-∞，0），减区间为[0．+∞）
（3）∵f(x)=(

1

2

)|x|
∴f(x-2)=(

1

2

)|x-2|=g(x)
∴将f（x）的图象向右平移2个单位即得g（x）的图象
又由f（x）的图象可知函数f（x）的值域为（0，1]而g（x）的图象可将f（x）的图象向右平移2个单位得到故g（x）的值域为（0，1]．

点评：本题考查利用函数的性质（奇偶性）作函数f（x）的图象，然后再利用图象的变换作g（x）的图象进而求函数的单调区间和值域．解决的捷径是数形结合，是中档题．