Question

【题目】已知椭圆：的离心率，椭圆的上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是椭圆上异于，的任一点，直线，，分别交轴于点，，若直线与过点，的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）证明见解析；长度为定值2

【解析】

（1）根据题意，设，可得，求得，结合圆心到直线的距离公式，列出方程，求得，进而求得椭圆的标准方程；

（2）设，求得直线和的方程，分别令，求得，得到圆的圆心坐标，再结合圆的弦长公式和椭圆的方程，即可求解.

（1）由题意，椭圆：的离心率，即

设，可得，则，

可得，

可得直线方程为，即，

所以原点到直线的距离为，解得，

所以，，椭圆方程为.

（2）由（1）可知，，设，

直线：，令，得；

直线：，令，得；

设圆的圆心为，

则，

，

所以，

而，所以，

代入可得，即，即线段的长度为定值2.