Question

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）（2）的最大值为．

解析试题分析：解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．   3分
故曲线的方程为．                5分
（Ⅱ）存在△面积的最大值.                   6分
因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．
则
整理得 ．            7分
由．
设．
解得 ，  ．
则 ．
因为
．       10分
设，，．
则在区间上为增函数．
所以．
所以，当且仅当时取等号，即．
所以的最大值为．
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：解决的关键是根据直线与椭圆的联立方程组，结合韦达定理来表示三角形的面积，进而结合函数的最值得到，属于中档题。