Question

若当x∈（0，

1

2

）时，不等式x²+x＜log_ax恒成立，则实数a的取值范围是

3 4

4

≤a＜1

．

Answer 1

分析：先构造函数f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，

1

2

）上恒有h（x）＜0，又函数为增函数，故可求．

解答：解：构造函数f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜

1

2

）
易知，在区间（0，

1

2

）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，

1

2

）上是递增函数．
由题设可知，函数h（x）在区间（0，

1

2

）上恒有h（x）＜0．∴必有h（

1

2

）≤0．
即有（

1

4

）+（

1

2

）-log_a（

1

2

）≤0．
整理就是（

3

4

）≤

ln 1 2

lna

，∴实数a的取值范围是 

3 4

4

≤a＜1．

点评：本题是恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围．