Question

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）．证明：n≥1时，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数学归纳法及数列的递推公式，由题目中已经给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证明结论，我们先证明n=1时，通项公式正确，然后假设n=k（k∈N*）时正确，进而得到设n=k+1时，公式仍成立．

解答：证明：（1）当n=1时，

1

5

[3+2]-2a₀=1-2a₀，而a₁=3⁰-2a₀=1-2a₀．
∴当n=1时，通项公式正确．
（2）假设n=k（k∈N*）时正确，即a_k=

1

5

[3^k+（-1）^k-1•2^k]+（-1）^k•2^k•a₀，
那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-

2

5

×3^k+

2

5

（-1）^k•2^k+（-1）^k+1•2^k+1a₀
=

3

5

•3^k+

1

5

（-1）^k•2^k+1+（-1）^k+1•2^k+1•a₀
=

1

5

[3^k+1+（-1）^k•2^k+1]+（-1）^k+1•2^k+1•a₀．∴当n=k+1时，通项公式正确．
由（1）（2）可知，对n∈N*，a_n=

1

5

[3ⁿ+（-1）^n-1•2ⁿ]+（-1）ⁿ•2ⁿ•a₀．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．由n=k正确?n=k+1时也正确是证明的关键．