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    双曲线C与椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    有相同的焦点，直线y=
    		3
    x    为C的一条渐近线．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
    PQ
    =λ1
    QA
    =λ2
    QB
    ，且λ1+λ2=-
    8
    3
    时，求Q点的坐标．
    （Ⅰ）设双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1
    由椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    求得两焦点为（-2，0），（2，0），
    ∴对于双曲线C：c=2，又y=
    		3
    x    为双曲线C的一条渐近线
    ∴
    b
    a
    =
    		3
    解得a2=1，b2=3，
    ∴双曲线C的方程为x2-
    y2
    3
    =1
    （Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）
    则Q(-
    4
    k
    ，0)
    ∵
    PQ
    =λ1
    QA
    ，
    ∴(-
    4
    k
    ，-4)=λ1(x1+
    4
    k
    ，y1)    ．
    ∴λ1=
    -
    4
    k
    x1+
    4
    k
    =-
    4
    kx1+4

    同理λ2=-
    4
    kx2+4
    ，
    所以λ1+λ2=-
    4
    kx1+4
    -
    4
    kx2+4
    =-
    8
    3
    ．
    即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）
    又y=kx+4以及
    x2-
    y2
    3
    =1
    消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．
    当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．
    由韦达定理有：
    x1+x2=
    8k
    3-k2

    x1x2=-
    19
    3-k2

    代入（*）式得k2=4，k=±2
    ∴所求Q点的坐标为（±2，0）．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
    （Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
    （Ⅱ）若
    AM
    =
    1
    2
    MB
    ，求直线l的方程；
    （Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知直线l1过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y0），直线l2过B（0，-1）与x相交于Q（x0，0），x0、y0满足y0-
    x0
    2
    =1    ，l1∩l2=M．
    （Ⅰ）求直线l1的方程（方程中含有y0）；
    （Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
    （Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时点F2到直线l的距离．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		6
    3
    ，右焦点为（2
    		2
    ，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
    （Ⅰ）求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）求△PAB的面积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知双曲线E：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，焦距为2c，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，则e的值为（　　）
    A．
    		3
    		B．3C．
    		2
    		D．
    		6

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
    F1Q
    |=2a    ，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
    （1）若点P的横坐标为
    a
    2
    ，证明：|
    F1P
    |=a+
    c
    2

    （2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线y=2x+1与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    16
    =1    的位置关系是（　　）
    A．相交B．相切C．相离D．不确定

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求
    TM
    •
    TN
    的最小值，并求此时圆T的方程；
    （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知半椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1(y≥0)    和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1(y≥0)    内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2+y2=b2（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(
    		6
    3
    ，-
    		3
    3
    )    时，△AGP的面积最大．
    （1）求曲线C的方程；
    （2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE2+BF2为定值．

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