Question

如图所示，已知椭圆C的离心率为

3

2

，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且S△ABF=1-

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=4所截弦长为2

3

，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为

3

2

，S△ABF=1-

3

2

，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=4所截弦长为2

3

，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．

解答：解：（1）设方程为C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），
F（c，0）
∵椭圆C的离心率为

3

2

，
∴

a2-b2

a2

=

3

4

∴a=2b，∴c=

3

b①
∵S△ABF=

1

2

(a-c)b=1-

3

2

②
∴联立①②，解得b=1，c=

3

∴a=2，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，
∵直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=4所截弦长为2

3

，
∴

|m|

1+k2

=1
∴m²=1+k²③
直线l代入椭圆方程，可得（

1

4

+k2）x²+2kmx+m²-1=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

16(4k2-m2+1)

(4k2+1)2

④
③代入④可得|x1-x2|2=

48k2

(4k2+1)

，∴|x₁-x₂|=

4 3 |k|

4k2+1

∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

4 3k2(k2+1)

4k2+1

∴S△OMN=

1

2

|MN|d=

2 3k2(k2+1)

4k2+1

令t=4k²+1≥1，则k2=

t-1

4

代入上式的，S=

3

2

•

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

∴t=3，即4k²+1=3，解得k=±

2

2

时，S取得最大值为1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．