Question

在120°的二面角a－l－β中，A∈a，B∈β，已知点A和B到棱l的距离分别为2和4，且AB=10，求：

　　(1)直线AB与棱l所成的角；

　　(2)直线AB与平面β所成的角；

(3)求异面直线AB与l的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)分别在平面a和β上．作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C和D，再在β上过C作CE∥DB且CE=DB，再连BE，从BD⊥l知EC⊥l，则∠ACE是二面角a－l－β的平面角，即∠ACE=1200． 从作法知，四边形BDCE是矩形，且l⊥平面ACE，于是BE⊥平面ACE，则BE⊥AE，△ABE是直角三角形，又△ACE中AC=2，EC=BD=4，∠ACE=120° 则AE=，由于BE∥l，故∠ABE是直线AB与棱l所成的角，所以在Rt△ABE中sin∠ABE=，故∠ABE=arcsin． 对于(2)的解决中，首先要作出直线AB在平面β上的射影，从l⊥平面ACE知，平面ACE⊥平面β和a，从A点作到β上的射影，其垂足必然在平面ACE与β的交线上，由于△ACE中，∠ACE为120°是一个钝角，所以作AA′⊥CE，其射影A′一定落在CE的反向延长线上，所以AA′=ACsin(180°－120°)=2sin60°=．连A′B，则∠ABA′就是AB与平面β所成的角，sin∠ABA′=， ∴ABA′=arcsin． (3)易知l∥平面ABE，于是l与AB的距离转化为求直线l到平面ABE的距离，由于平面ACE⊥平面ABE，于是自C作CF⊥AE，垂足为F，则CF⊥平面ABE，在△ACE中利用面积可建立关系式CF·2·=2·4·sin120°，得CF=．