Question

已知a，b，c是正常数，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），
（1）求证：

a2

x

+

b2

y

+

c2

z

≥

(a+b+c)2

x+y+z

，并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论：
①求函数f(x)=

1

x

+

4

1-2x

+

25

1+x

(x∈(0，

1

2

))的最小值，并求出相应的x值；
②设a、b、c∈（0，1），求证：

a

1-bc2

+

b

1-ca2

+

c

1-ab2

≥

a+b+c

1-abc

．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式，结合完全平方公式，可得结论；
（2）将函数变形，利用①的结论，即可求函数的最小值，及相应的x值；
②将函数变形，利用①的结论，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵x，y，z∈（0，+∞），a＞0，b＞0，c＞0
∴(x+y+z)(

a2

x

+

b2

y

+

c2

z

)=a2+b2+c2+

xb2

y

+

ya2

x

+

xc2

z

+

za2

x

+

yc2

z

+

zb2

y

≥a²+b²+c²+2ab+2ca+2cb=（a+b+c）²
∴(x+y+z)(

a2

x

+

b2

y

+

c2

z

)≥（a+b+c）²
∴

a2

x

+

b2

y

+

c2

z

≥

(a+b+c)2

x+y+z

当且仅当

x

a

=

y

b

=

z

c

时，等号成立------------------（6分）
（2）解：①f(x)=

1

x

+

4

1-2x

+

25

1+x

=

12

x

+

22

1-2x

+

52

1+x

≥

(1+2+5)2

x+1-2x+1+x

=

64

2

=32
∴f（x）的最小值是32，当且仅当

x

1

=

1-2x

2

=

1+x

5

，即x=

1

4

时取得------------（11分）
②证明：

a 1-bc2 + b 1-ca2 + c 1-ab2 = a2 a-abc2 + b2 b-bca2 + c2 c-cab2 ≥ (a+b+c)2 a+b+c-(abc2+a2bc+ab2c)

=

(a+b+c)2

a+b+c-abc(c+a+b)

=

a+b+c

1-abc

∴

a

1-bc2

+

b

1-ca2

+

c

1-ab2

≥

a+b+c

1-abc

得证．---------------------------（16分）

点评：本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．