练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知二阶矩阵A属于特征值-1的 一个特征向量为 
    -1
     
    3
    ，属于特征值7的 一个特征向量为 
    1
     
    1

    ①求矩阵A；  
    ②求解方程 A
    x
    y
    =
    7
    14
    ．
    分析：（1）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解四元一次方程组即可．
    （2）根据（1）中矩阵，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出A-1，求解A-1 
    7 
    14 
    即可．
    解答：解：（1）设矩阵A=
    ab
    cd
    ，
    由A属于特征值-1的一个特征向量为 
    -1
     
    3
    ，得
    ab
    cd
     
    -1
     
    3
    =-1 
    -1
     
    3
    ，
    即
    -a+3b=1
    -c+3d=-3
    ；
    由矩阵A属于特征值7的一个特征向量为 
    1
     
    1
    ，可得
    ab
    cd
     
    1
     
    1
    =7
    1
     
    1
    ，
    即
    a+b=7
    c+d=7
    ，
    解得
    a=5 
    b=2 
    c=6 
    d=1 
    ，即矩阵A=
    52
    61
    ．
    （2）由（1）知，ad-bc=-7，则A-1=
    1
    -7
    -6
    -7
    -2
    -7
    5
    -7
    =
    -
    1
    7
    		 
    6
    7
     
    2
    7
    		-
    5
    7
    ，
    则
    x 
    y 
    =
    -
    1
    7
    		 
    6
    7
     
    2
    7
    		-
    5
    7
     
    7
    14
    =
    11 
    -8 
    ，
    故方程的解：
    x=11
    y=-8
    ．
    点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于基础题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
    求证：DE是⊙O的切线．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为
    1
    -4
    ，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
    π
    4
    )=
    		2
    ，曲线C的参数方程为
    x=2cosα
    y=sinα
    （α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
    D．选修4-5：不等式选讲
    已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
    A．（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
    B．（选修4-2：矩阵与变换）
    已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
    1
    1
    ，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
    1
    -1
    ，求矩阵A的逆矩阵A-1．
    C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
    以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
    π
    2
    )    ，直线l过点A且倾斜角为
    π
    4
    ，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
    D．（选修4-5：不等式选讲）
    设a，b，c，d都是正数，且x=
    		a2+b2
    ，y=
    		c2+d2
    ．求证：xy≥
    		(ac+bd)(ad+bc)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=
    1
    1
    和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e2=
    1
    0
    ，试求矩阵A．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    [选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为
    e
    =
    1
    1
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），求出矩阵M．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案