Question

如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：||=2且EF⊥l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足=0．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；
（2）若经过点E的直线l₁与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当π≤θ＜π时，求直线l₁的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，求出的坐标，由求出Q，M的坐标，由列式求出P点的轨迹；
（2）设出直线l₁ 的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两交点横坐标的和与积，进一步得到纵坐标的和与积，然后把的数量积与模用含有k的代数式表示，代入向量夹角公式后可求值．
解答：解：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
xoy，设点P（x，y），则F（0，1），E（0，3），l：y=-1
∵，∴
∵，∴．
即所求点P轨迹方程x²=4y；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
设直线l₁的方程为y=kx+3（k≠0）．
由，得x²-4kx-12=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12
∴

∵，
∴
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-12+9-4k²-6+1
=-4k²-8．

=
∴
由于，
∴，即．
∴，∴，解得或．
∴直线l₁ 的斜率k的取值范围是{k|或}．
点评：本题考查了直线的斜率，考查了与直线有关的动点轨迹方程问题，训练了平面向量在解题中的应用，利用根与系数关系解题是处理该题的关键，考查了学生的计算能力，是难题．