Question

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知

(Ⅰ)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(Ⅱ)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(Ⅲ)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数， 　　且f(10)＝f(24)＝240，当10＜t≤20时，f(t)＝240， 　　而当20＜t≤40时，f(t)为减函数． 　　所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟　　4分 　　(Ⅱ)求函数值比较，f(5)＝195，f(25)＝205， 　　讲课开始后25分钟比讲课开始后5分钟学生的注意力更集中　　8分 　　(Ⅲ)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，则t＝4， 　　20＜t≤40，f(t)＝－7t＋380＝180，t＝28.57， 　　则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4＝24.57＞24　　10分 　　所以，经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题　　12分