Question

【题目】已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：若，则对于任意，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）求定义域，求导，再分类讨论得导数符号，从而得出函数的单调性；

（2）原不等式即，变形为，只需证恒成立；设函数，，结合导数易得，，由，得，从而得出证明．

（1）解：函数的定义域为，，

①当时，，则在内单调递减；

②当时，由得，，解得，由得，，则在内单调递减，在内单调递增；

③当时，，则，则在内单调递减；

④当时，由得，，解得，或，由得，，则在，内单调递减，在内单调递增；

综上：当时，在内单调递减；在内单调递增；

当时，在内单调递减；

当时，在，内单调递减，在内单调递增；

（2）证明：原不等式即，变形为，

∴只需证恒成立，

设函数，，

因为，易得在单调递增，在上单调递减，

所以，

，在单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以，即在内恒成立，

∴若，则对于任意，不等式．