Question

【题目】某学校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地。如图，点在上，点在上，且点在斜边上，已知米，米，，设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正的常数）.

（1）试用表示，并指出如何设计矩形的长和宽，才能使得矩形的面积最大，且求出的最大值；

（2）求总造价关于面积的函数，说明如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）.

Answer 1

【答案】(1) ，，当米，米时，才能使得矩形的面积最大且最大值为平方米.

(2) ，，当或18米时，使总造价最低.

【解析】

（1）在△中，求出,利用即可求出解析式，利用二次函数的图象与性质即可求解；

（2）求出△的面积，即可表示出阴影部分的面积，结合题意即可求出总造价的解析式，结合基本不等式求最值，即可求解.

(1)在△中，，所以，.根据二次函数的图象与性质可知，当时，有最大值为，所以当米，米时，才能使得矩形的面积最大且最大值为平方米.

（2）在△中，，所以△的面积为，则矩形健身场地的造价为，草坪的造价为，所以总造价关于面积的函数，由（1）知，，故，由基本不等式可知，当且仅当取等号，令或18，所以当或18米时，使总造价最低.