Question

“若?x∈（1，2），x²+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围为

（-∞，-5]

．

Answer 1

分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出-m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．

解答：解：∵命题“?x∈（1，2）时，满足不等式x²+mx+4≥0”是假命题，
∴命题“?x∈（1，2）时，满足不等式x²+mx+4＜0”是真命题，
∴-m＞x+

4

x

在（1，2）上恒成立
令f(x)=x+

4

x

，x∈（1，2）
∵f′(x)=1-

4

x2

＜0
∴f（x）＜f（1）=5，
∴-m≥5，
∴m≤-5．
故答案为：（-∞，-5]

点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．